Question

（2011•南寧模擬）過點M（4，2）作X軸的平行線被拋物線C：x²=2py（p＞0）截得的弦長為4

2

（I ）求拋物線C的方程；（II）過拋物線C上兩點A，B分別作拋物線C的切線l₁，l₂（i）若l₁，l₂交點M，求直線AB的方（ii）若直線AB經過點M，記l₁，l₂的交點為N，當S△ABN=28

7

時，求點N的坐標．

Answer 1

分析：（I ）直接把條件轉化為點（2

2

，

2

）在拋物線x²=2py上，代入拋物線方程即可求出p，進而得到拋物線C的方程；
（II）先把直線AB的方程y=kx+b與拋物線方程聯立求出A，B兩點坐標與k，b的關系，再求出拋物線方程的導函數，進而求出在A，B兩點處的切線方程以及交點坐標．
    （i）直接把所求交點坐標與點M（4，2）相結合即可求出k，b的值，進而求出直線AB的方程；
     （ii）先利用直線AB經過點M求得4k+b=2，代入可得l₁，l₂的交點N的坐標；利用弦長公式求出AB的長，再結合點到直線的距離公式求出點N到直線AB的距離，把求出結論代入S△ABN=28

7

，即可求出k，進而得到點N的坐標．

解答：解：（I ）由已知得點（2

2

，

2

）在拋物線x²=2py上，
代入得8=4p，故p=2，
所以x²=4y．
（II）設A（x₁，

x12

4

），B（x₂，

x22

4

），直線AB方程為y=kx+b，
由

y=kx+b x2=4y

得，
則x₁+x₂=4k，x₁•x₂=-4b．
又y=

1

4

x2，求導得y^′=

x

2

．
故拋物線在A，B兩點處的切線斜率分別為

x1

2

，

x2

2

．
故在A，B兩點處的切線方程為l₁：y=

x1

2

x-

x12

4

和l_2：：y=

x2

2

x-

x22

4

，
于是l₁與l₂的交點坐標為（

x1+x2

2

，

x1•x2

4

），即為（2k，-b）．
（i）∵l₁，l₂交點M
∴

2k=4 -b=2

⇒

k=2 b=-2

，故直線AB的方程為2x-y-2=0．
（ii）由題意得M（4，2）在直線AB上，故4k+b=2．
且x₁+x₂=4k，x₁•x₂=16k-8．
故l₁與l₂交點N坐標為（2k，4k-2）．
又|AB|=

1+k2

|x₁-x₂=4

(1+k2)(k2-4k+2)

|，
點N到直線AB的距離d=

2|k2-4k+2|

1+k2

．
故S_△NAB=

1

2

|AB|•d=4(

k2-4k+2

)3
故4(

k2-4k+2

)3=28

7

，
即

k2-4k+2

=

7

，得k=-1或5，
故點N的坐標為（-2，-6）或（10，18）．

點評：本題主要考查直線與拋物線的綜合問題．本題第二問涉及到弦長公式的運用以及點到直線的距離計算，是對基礎知識的考查，提醒我們注意知識的熟練掌握和運用．