Question

【題目】如圖，四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，AB＝BC＝AD，∠BAD＝∠ABC＝90°.

(1)證明：直線BC∥平面PAD；

(2)若△PCD的面積為2，求四棱錐P－ABCD的體積.

Answer 1

【答案】(1) 見解析(2)

【解析】試題分析：（1）第（1）問，轉(zhuǎn)化成線線垂直，轉(zhuǎn)化成證明BC∥AD. (2)第（2）問，先轉(zhuǎn)化△PCD的面積為2得到BC的長度，再利用體積公式求解.

試題解析：(1)證明：在底面ABCD中，因為∠BAD＝∠ABC＝90°，所以BC∥AD，

又BC平面PAD，AD平面PAD，∴直線BC∥平面PAD.

(2)解：取AD的中點M，連接PM，CM，由AB＝BC＝AD及BC∥AD，∠ABC＝90°得四邊形ABCM為正方形，則CM⊥AD.

因為側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以PM⊥AD，PM⊥底面ABCD.

因為CM底面ABCD，所以PM⊥CM.

設(shè)BC＝x，則CM＝x，CD＝x，PM＝x，PC＝PD＝2x.

取CD的中點N，連接PN.

則PN⊥CD，所以PN＝x.

因為△PCD的面積為2，所以，

解得x＝－2(舍去)或x＝2.

于是AB＝BC＝2，AD＝4，PM＝2.

所以四棱錐P－ABCD的體積V＝.