Question

【題目】如圖，在三棱柱中，平面，為的中點，交于點，，.

（1）證明：平面；

（2）若，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

利用三棱柱的定義及線面垂直的性質，根據線面垂直的判定定理即可證明；

由（1）結論建立空間直角坐標系，先求出平面和平面的法向量，利用向量數量積公式即可求出二面角的余弦值.

證明：（1）因為為三棱柱，所以平面平面，

因為平面，所以平面.又因為平面，所以.

又因為，，平面，所以平面.

由題知：四邊形為矩形，又因交于點，所以為的中點，

又因為為的中點，所以為的中位線，所以.所以平面.

（2）由（1）知：兩兩互相垂直，所以以為坐標原點，分別以為軸建立空間直角坐標系，如圖所示：

設，則，

所以，，因為，所以，

所以，解得.所以，

所以，.

設平面的法向量為，則，所以，

不妨令，則.

設平面的法向量為，則，所以，

不妨令，則.所以,

因為平面與平面所成的角為銳角，所以二面角的余弦值為.