Question

【題目】如圖，湖中有一個半徑為千米的圓形小島，岸邊點與小島圓心相距千米，為方便游人到小島觀光，從點向小島建三段棧道，，，湖面上的點在線段上，且，均與圓相切，切點分別為，，其中棧道，，和小島在同一個平面上.沿圓的優弧（圓上實線部分）上再修建棧道.記為.

用表示棧道的總長度，并確定的取值范圍；

求當為何值時，棧道總長度最短.

Answer 1

【答案】，；當時，棧道總長度最短.

【解析】

連，，由切線長定理知：，，，，即，，

則，，進而確定的取值范圍；

根據求導得，利用增減性算出，進而求得取值.

解：連，，由切線長定理知：，，

，又，，故，

則劣弧的長為，因此，優弧的長為，

又，故，，即，，

所以，，，則；

，，其中，，

	-	0	+
	單調遞減	極小值	單調遞增

故時，

所以當時，棧道總長度最短.