Question

三人獨立破譯同一份密碼．已知三人各自破譯出密碼的概率分別為

1

5

，

1

4

，

1

3

，且他們是否破譯出密碼互不影響．
（Ⅰ）求恰有二人破譯出密碼的概率；
（Ⅱ）“密碼被破譯”與“密碼未被破譯”的概率哪個大？說明理由．

Answer 1

記“第i個人破譯出密碼”為事件A₁（i=1，2，3），
依題意有P(A1)=

1

5

，P(A2)=

1

4

，P(A3)=

1

.3

，
且A₁，A₂，A₃相互獨立．

（Ⅰ）設“恰好二人破譯出密碼”為事件B，則有
B=A₁•A₂•

.

A3

•A₁•

.

A2

•A₃+

.

A1

•A₂•A₃，
且A₁•A₂•

.

A3

，A₁•

.

A2

•A₃，

.

A1

•A₂•A₃彼此互斥
于是P（B）=P（A₁•A₂•

.

A3

）+P（A₁•

.

A2

•A₃）+P（

.

A1

•A₂•A₃）
=

1

5

×

1

4

×

2

3

+

1

5

×

3

4

×

1

3

+

4

5

×

1

4

×

1

3

=

3

20

．
答：恰好二人破譯出密碼的概率為

3

20

．

（Ⅱ）設“密碼被破譯”為事件C，“密碼未被破譯”為事件D．
D=

.

A1

•

.

A2

•

.

A3

，且

.

A1

，

.

A2

，

.

A3

互相獨立，則有
P（D）=P（

.

A1

）•P（

.

A2

）•P（

.

A3

）=

4

5

×

3

4

×

2

3

=

2

5

．
而P（C）=1-P（D）=

3

5

，
故P（C）＞P（D）．
答：密碼被破譯的概率比密碼未被破譯的概率大．