Question

 [番茄花園1]  以知橢圓的兩個焦點分別為，過點的直線與橢圓相交與兩點，且。

（1）求橢圓的離心率；

（2）求直線AB的斜率；

（3）設點C與點A關于坐標原點對稱，直線上有一點在的外接圓上，求的值。

 

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 [番茄花園1]26.

Answer 1

【答案】

 [番茄花園1]  解：（1）由//且，得，從而

整理，得，故離心率

（2）解：由（1）得，所以橢圓的方程可寫為

設直線AB的方程為，即.

由已知設，則它們的坐標滿足方程組

消去y整理，得

依題意，

而               ①

            ②

由題設知，點B為線段AE的中點，所以

                 ③

聯立①③解得，

將代入②中，解得.

（3）解法一：由（II）可知

當時，得，由已知得.

線段的垂直平分線的方程為直線與x軸的交點

是外接圓的圓心，因此外接圓的方程為.

直線的方程為，于是點H（m，n）的坐標滿足方程組

， 由解得故

當時，同理可得.

解法二：由（II）可知

當時，得,由已知得

由橢圓的對稱性可知B，，C三點共線，因為點H（m，n）在的外接圓上，

且，所以四邊形為等腰梯形.

由直線的方程為,知點H的坐標為.

因為，所以，解得m=c（舍），或.

則，所以.

當時，同理可得

 

 

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 [番茄花園1]26.