Question

21、已知二次函數f（x）=x²-16x+q+3
（1）當q=1時，求f（x）在[-1，1]上的最值．
（2）問：是否存在常數q（0＜q＜10），使得當x∈[q，10]時，f（x）的最小值為-51？若存在，求出q（9）的值，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）將q=1代入f（x）=x²-16x+q+3，由二次函數的單調性求得最值．
（2）先假設存在常數q，則有f（x）=x²-16x+q+3=（x-8）²+q-61，x∈[q，10]，按照二次函數求最值方法求解．

解答：解：（1）q=1時，函數f（x）=x²-16x+4在區間[-1，1]上遞減，
∴f_max（x）=f（-1）=21f_min（x）=f（1）=-11
（2）假設存在常數q（0＜q＜10），使得當x∈[q，10]時，f（x）的最小值為-51
∵f（x）=x²-16x+q+3=（x-8）²+q-61，x∈[q，10]
∴當0＜q＜8時，f（x）_min=q-61=-51，∴q=10∉（0，8）；
當q≥8時，f（x）在區間[q，10]上單調遞增，f（x）_min=q²-15q+3=-51，解得q=6（舍去）或q=9
故存在常數q=9，使得當x∈[q，10]時，f（x）的最小值為-51．

點評：本次主要考查二次函數求最值和已知最值求參數的值或范圍，兩者方法一致．