Question

【題目】已知拋物線C：y2＝2x，過點E（a，0）的直線l與C交于不同的兩點P（x1，y1），Q（x2，y2），且滿足y1y2＝﹣4，以Q為中點的線段的兩端點分別為M，N，其中N在x軸上，M在C上，則a＝_____．|PM|的最小值為_____．

Answer 1

【答案】2 4

【解析】

過點E（a，0）的直線l的方程設為x＝my+a，代入拋物線的方程，運用韋達定理，結合條件，解方程可得a的值；再設直線PM的方程為x＝ny+b，聯立拋物線方程，設M（x3，y3），運用韋達定理和中點坐標公式，可得b＝4，再由弦長公式和二次函數的最值求法，可得所求最小值．

過點E（a，0）的直線l的方程設為x＝my+a，代入拋物線方程y2＝2x，可得y2﹣2my﹣2a＝0，

所以y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2a＝﹣4，可得a＝2；

設直線PM的方程為x＝ny+b，聯立拋物線方程y2＝2x，

可得y2﹣2ny﹣2b＝0，

設M（x3，y3），所以y1+y3＝2n，y1y3＝﹣2b，

由Q為MN的中點，且N在x軸上，可得y3＝2y2，

即有2y1y2＝﹣2b＝﹣8，可得b＝4，

則|PM|2

24，

當n＝0即PM⊥x軸時，|PM|取得最小值4．

故答案為：2；4．