Question

已知圓x²＋y²－6mx－2(m－1)y＋10m²－2m－24＝0(m∈R)．
(1)求證：不論m取什么值，圓心在同一直線l上；
(2)與l平行的直線中，哪些與圓相交，相切，相離．

Answer 1

（1）見解析（2）當d<r，即－5－3<b<5－3時，直線與圓相交；當d＝r，即b＝±5－3時，直線與圓相切；當d>r，即b<－5－3或b>5－3時，直線與圓相離．

(1)證明：配方得(x－3m)²＋[y－(m－1)]²＝25.設圓心為(x，y)，則消去m，得x－3y－3＝0.故不論m取什么值，圓心在同一直線l：x－3y－3＝0上．
(2)解：設與l平行的直線為n：x－3y＋b＝0，則圓心到直線l的距離d＝＝，由于圓的半徑r＝5，∴當d<r，即－5－3<b<5－3時，直線與圓相交；當d＝r，即b＝±5－3時，直線與圓相切；當d>r，即b<－5－3或b>5－3時，直線與圓相離