Question

【題目】在一般情況下，城市主干道上的車流速度 （單位：千米/小時）是車流密度 （單位：輛/千米）的函數。當主干道上的車流密度達到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0千米/小時；當車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時。研究表明：當 時，車流速度 是車流密度 的一次函數。
（1）當 時，求函數 的表達式；
（2）當車流密度為多大時，車流量（單位時間內通過主干道上某觀測點的車輛數，單位：輛/小時） 可以達到最大？并求出最大值。（精確到1輛/小時）

Answer 1

【答案】
（1）

由題意：當0≤x≤20時，v（x）=60；當20＜x≤200時，設v（x）=ax+b

再由已知得 ，解得 .

故函數v（x）的表達式為 .

答：函數v（x）的表達式 ；

（2）

依題并由（Ⅰ）可得 ，

當0≤x＜20時，f（x）為增函數，故當x=20時，其最大值為60×20=1200，

當20≤x≤200時，f（x）= ，當且僅當x=200-x，即x=100時，等號成立．

綜上所述，當x=100時，f（x）在區間[0，200]上取得最大值為 ≈3333，

即當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大值，最大值約為3333輛/小時．

答：當車流密度為100輛/千米時，車流量可以達到最大值，最大值約為3333輛/小時．

【解析】（1）根據題意，函數v（x）表達式為分段函數的形式，關鍵在于求函數v（x）在20≤x≤200時的表達式，根據一次函數表達式的形 式，用待定系數法可求得；（2）先在區間（0，20]上，函數f（x）為增函數，得最大值為f（20）=1200，然后在區間[20，200]上用基本不 等式求出函數f（x）的最大值，用基本不等式取等號的條件求出相應的x值，兩個區間內較大的最大值即為函數在區間（0，200]上的最大值．
【考點精析】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用的相關知識點，需要掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”才能正確解答此題．