Question

如圖，直角梯形中，，，，，，過(guò)作，垂足為.、分別是、的中點(diǎn)．現(xiàn)將沿折起，使二面角的平面角為.

（1）求證：平面平面；
（2）求直線與面所成角的正弦值.

Answer 1

（1）詳見(jiàn)解析；（2）求直線與面所成角的正弦值為.

試題分析：（1）利用折疊前以及、在同一平面內(nèi)，得到在折疊后，由已知條件，結(jié)合直線與平面垂直的判定定理可以證明平面，最終利用平面與平面垂直的判定定理即可證明平面平面；（2）解法一是利用空間向量法，即以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、分別為軸、軸建立空間坐標(biāo)系，將二面角為進(jìn)行適當(dāng)轉(zhuǎn)化，再利用空間向量法求出直線與面所成角的正弦值；解法二是利用到（1）中的結(jié)論平面，只需作交于點(diǎn)，于是確定直線與面所成角為，借助點(diǎn)為的中點(diǎn)從而得到為中位線，于是確定點(diǎn)為的中點(diǎn)，連接，在直角三角形中計(jì)算出.
試題解析：（1）證明：DEAE，CEAE，，
 AE平面，   3分
 AE平面，平面平面．  5分
（2）（方法一）以E為原點(diǎn)，EA、EC分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系  6分
DEAE，CEAE，是二面角的平面角，即=，  7分
，，，
A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，1，0），E（0，0，0），D（0，，1）．  9分
、分別是、的中點(diǎn)，F，G   10分
=，=，  11分
由（1）知是平面的法向量，    12分
設(shè)直線與面所成角，則，
故求直線與面所成角的正弦值為．   14分（列式1分，計(jì)算1分）
（方法二）作，與相交于，連接  6分
由（1）知AE平面，所以平面，是直線與平面所成角  7分
是的中點(diǎn)，是的中位線，，  8分
因?yàn)镈EAE，CEAE，所以是二面角的平面角，即= 9分
在中，由余弦定理得，
（或）  11分（列式1分，計(jì)算1分）
平面，所以，在中，   13分
所以直線與面所成角的正弦值為  14分