Question

【題目】已知數列滿足，對每個正整數，有或.如這個數列可以為1，2，4，6，10….

（1）若某一項為奇數，且不為3的倍數，證明：；

（2）證明：；

（3）若在的前2015項中，恰有t個項為奇數，求t的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）1343

【解析】

（1）由am不為偶數，知.

于是，.

假如，則為3的倍數，與已知條件矛盾.

從而，只能是.

故.

（2）由遞推關系，易知數列是單調遞增的.

因此，當時，.

從而，，即.

由此，.

故

（3）一方面，數列的任意相鄰三項至多有兩個奇數.

事實上，假如均為奇數，由均為偶數，故根據遞推關系知為偶數，矛盾.

因此，在這671組數中，每組至多含兩個奇數.

再考慮到為奇數，為偶數，故至多有個奇數，即.

另一方面 ，當數列總滿足時，注意到，為奇數，為偶數，故對每個正整數k，由遞推關系得為奇數，為奇數，為偶數，此時，數列的前2015項含有1343個奇數.

綜上，t的最大值1343.