Question

若直線y=kx+1與曲線x=

1-4y2

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則k的取值范圍是

（-∞，-

3

2

）

．

Answer 1

分析：直線y=kx+1是過定點(diǎn)（0，1），斜率為k的動(dòng)直線，曲線x=

1-4y2

的形狀是橢圓x²+4y²=1的右半部分，數(shù)形結(jié)合可知要使直線y=kx+1與曲線x=

1-4y2

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，需求直線與橢圓相切時(shí)的斜率，將直線代入橢圓方程，由△=0即可得此斜率，最后數(shù)形結(jié)合寫出結(jié)果

解答：解：曲線x=

1-4y2

的形狀是橢圓x²+4y²=1的右半部分
直線y=kx+1是過定點(diǎn)（0，1），斜率為k的動(dòng)直線，
數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)直線與橢圓x²+4y²=1的右半部分相切時(shí)，斜率最大，此時(shí)將直線順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至與y軸重合時(shí)，直線y=kx+1與曲線x=

1-4y2

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
將y=kx+1代入x²+4y²=1得（1+4k²）x²+8kx+3=0，由△=64k²-12（1+4k²）=0，得k=-

3

2

∴直線y=kx+1與曲線x=

1-4y2

有兩個(gè)不同的交點(diǎn)時(shí)k的取值范圍是（-∞，-

3

2

）
故正確答案為（-∞，-

3

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的識(shí)別，直線與橢圓相交相切的判定，考查了數(shù)相結(jié)合的思想方法，屬基礎(chǔ)題