Question

如圖，在四面體ABCD中，平面EFGH分別平行于棱CD、AB，E、F、G、H分別在BD、BC、AC、AD上，且CD=a，AB=b，CD⊥AB．
（1）求證：四邊形EFGH是矩形．
（2）設，問λ為何值時，四邊形EFGH的面積最大？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平行線的性質證明四邊形EFGH是矩形．
（2）根據邊長關系，建立函數關系，然后求四邊形EFGH的面積．
解答：解：（1）證明：∵CD∥面EFGH，CD?平面BCD，
而平面EFGH∩平面BCD=EF．∴CD∥EF同理HG∥CD．∴EF∥HG
同理HE∥GF．∴四邊形EFGH為平行四邊形…（3分）
由CD∥EF，HE∥AB∴∠HEF（或其補角）為CD和AB所成的角，
又∵CD⊥AB．∴HE⊥EF．∴四邊形EFGH為矩形．…..（6分）
（2）解：由（1）可知在△ABD中EH∥AB，∴，所以EH=λb，
在△BCD中EF∥CD，∴，所以EF=a（1-λ）  …（8分）
又EFGH是矩形，故四邊形EFGH的面積S=a（1-λ）•λb，當且僅當λ=1-λ，
即時等號成立，即E為BD的中點時，矩形EFGH的面積最大為ab…．（12分）
點評：本題主要考查空間直線和平面位置關系的判斷和應用，考查學生的運算和推理能力．