Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）經過點P（4，

15

），且雙曲線C的漸近線與圓x²+（y-3）²=4相切．
（1）求雙曲線C的方程；
（2）設F（c，0）是雙曲線C的右焦點，M（x₀，y₀）是雙曲線C的右支上的任意一點，試判斷以MF為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的圓的位置關系，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線過定點得到關于a，b的方程，再由雙曲線C的漸近線與圓x²+（y-3）²=4相切得到關于a，b的另一方程，聯立后求得a，b的值，則雙曲線的方程可求；
（2）求出雙曲線的兩個焦點坐標，由定義得到M的坐標所滿足的關系式，求出乙MF為直徑的圓的圓心坐標和半徑，然后利用圓心距和半徑的關系得答案．

解答：解：（1）∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1經過點P（4，

15

），所以

16

a2

-

15

b2

=1①．
∵雙曲線C的漸近線bx±ay=0與圓x²+（y-3）²=4相切，
所以圓心（0，3）到直線bx±ay=0的距離等于2，
即

|3a|

b2+a2

=2，整理得5a²=4b²②．
聯立①與②，解得

a2=4 b2=5

，
∴雙曲線C的方程為

x2

4

-

y2

5

=1；
（2）由（1）得，c=

a2+b2

=3，所以雙曲線C的右焦點為F（3，0）．
設雙曲線C的左焦點為F′（-3，0），因為點M在雙曲線C的右支上，
所以|MF′|-|MF|=4，即

(x0+3)2+y02

-

(x0-3)2+y02

=4，
所以即

(x0+3)2+y02

=

(x0-3)2+y02

+4，
因為以雙曲線C的實軸為直徑的圓的圓心為（0，0），半徑為r₁=2；
以MF為直徑的圓的圓心為(

x0+3

2

，

y0

2

)，半徑為r2=

1

2

(x0-3)2+y02

，
所以兩圓圓心之間的距離為d=

( x0+3 2 )2+( y0 2 )2

=

1

2

(x0+3)2+y02

．
因為d=

1

2

(x0+3)2+y02

=

1

2

[4+

(x0-3)2+y02

]=2+

1

2

(x0-3)2+y02

=r1+r2，
∴以MF為直徑的圓與以雙曲線實軸為直徑的圓外切．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程，考查了直線與圓錐曲線的關系，訓練了圓與圓關系的應用，考查了計算能力，是中檔題．