Question

（15分）已知以點C (t, )(t∈R , t ≠ 0)為圓心的圓與軸交于點O、A，與y軸交于點O、B，其中O為原點．（1）求證：△OAB的面積為定值；（2）設直線y = –2x+4與圓C交于點M, N，若OM = ON，求t的值并求出圓C的方程．

Answer 1

（1），．
設圓的方程是 
令，得；令，得
，即：的面積為定值．------6分
（2）垂直平分線段．
，直線的方程是．
，解得：    -----------------9分
當時，圓心的坐標為，，  
此時到直線的距離，
圓與直線相交于兩點。------------------12分．    ----
當時，圓心的坐標為，，
此時到直線的距離
圓與直線不相交，
不符合題意舍去．    ------------------14分
圓的方程為．------------15分

（1）求出半徑，寫出圓的方程，再解出A、B的坐標，表示出面積即可．
（2）通過題意解出OC的方程，解出t 的值，直線y=-2x+4與圓C交于點M，N，判斷t是否符合要求，可得圓的方程．
解：（1）∵圓C過原點O，
∴OC²=t²+，
設圓C的方程是(x-t)²+(y-)²=t²+，
令x=0，得y₁=0，y₂=，
令y=0，得x₁=0，x₂=2t
∴S_△OAB=OA×OB=×||×|2t|=4，
即：△OAB的面積為定值；
（2）∵OM=ON，CM=CN，
∴OC垂直平分線段MN，
∵k_MN=-2，∴k_oc=，
∴直線OC的方程是y=x，
∴=t，解得：t=2或t=-2，
當t=2時，圓心C的坐標為（2，1），OC=
此時C到直線y=-2x+4的距離d=＜，
圓C與直線y=-2x+4相交于兩點，
當t=-2時，圓心C的坐標為（-2，-1），OC=此時C到直線y=-2x+4的距離d=＞，
圓C與直線y=-2x+4不相交，
∴t=-2不符合題意舍去，
∴圓C的方程為（x-2）²+（y-1）²=5．