Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD為正方形，PD=DC=1，E、F分別是AB、PB的中點．
（Ⅰ）求證：EF⊥CD；
（Ⅱ）求二面角F-DE-B的大小；
（Ⅲ）在平面PAD內求一點G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）（3）中證明線線垂直及線面垂直，可以綜合線線、線面、面面垂直的性質及判定定理進行解答，也可利用三垂線定理進行解答
（2）求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．再利用解三角形的辦法求解，對于本題，也可以建立空間坐標系，利用空間向量進行求解和證明．

解答：解法一：
證明：（Ⅰ）∵E、F分別是AB、PB的中點，
∴EF∥PA．
∵ABCD是正方形，
∴AD⊥CD．
又PD⊥底面ABCD，
∴AD是斜線PA在平面ABCD內的射影．
∴PA⊥CD．
∴EF⊥CD

（Ⅱ）連接AC交BD于O，過O作OK⊥DE于K，連接OF、FK．
∵O，F分別為BD，PB中點，
∴OF∥PD．
∵PD⊥底面ABCD，
∴OF⊥底面ABCD．
∴OK是斜線FK在平面ABCD內的射影．
∴FK⊥DE．
∴∠FKO是二面角F-DE-B的平面角
經計算得：OF=

1

2

，OK=

5

10

．
∴tan∠FKO=

OF

OK

=

5

．
即二面角F-DE-B的大小為arctan

5

（Ⅲ）取PC的中點H，連接DH．
∵PD=DC，
∴DH⊥PC．
又易證BC⊥平面PDC，
∴DH⊥BC．
又PC∩BC=C，
∴DH⊥平面PBC
取AD中點G，連接GF、FH．
∴FH∥BC∥DG，且FH=DG．
∴四邊形DGFH為平行四邊形．
∴DH∥GF．
∴GF⊥平面PCB．
即當G是AD的中點時，GF⊥平面PCB

解法二：
以DA、DC、DP所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系（如圖），
則D（0，0，0）、A（1，0，0）、B（1，1，0）、C（0，1，0）、E(1，

1

2

，0)、F(

1

2

，

1

2

，

1

2

)、P（0，0，1）．
（Ⅰ）∵

EF

=(-

1

2

，0，

1

2

)，

DC

=(0，1，0)，
∴

EF

•

DC

=0．
∴EF⊥CD

（Ⅱ）∵PD⊥底面ABCD，
∴平面BDE的法向量為

DP

=(0，0，1)
設平面DEF的法向量為

n

=(x，y，z).
由

n • DF =0 n • DE =0

得

(x，y，z)•( 1 2 1 2 1 2 )=0 (x，y，z)•(1 1 2 ，0)=0

即

1 2 (x+y+z)=0 x+ 1 2 y=0.

令x=1，則y=-2，z=1．
∴

n

=(1，-2，1)
∴cos＜

n

，

DP

＞=

n • DP

| n || DP |

=

1

6

=

6

6

．
即二面角F-DE-B的大小為arccos

6

6

（Ⅲ）設G（m，0，n），則G∈平面PAD．
∴

FG

=(m-

1

2

，-

1

2

，n-

1

2

)．
由

FG

•

CB

=0，得m=

1

2

．由

FG

•

CP

=0，得n=0．
∴G點坐標為(

1

2

，0，0)，即G為AD中點時，GF⊥平面PCB

點評：線線垂直可由線面垂直的性質推得，直線和平面垂直，這條直線就垂直于平面內所有直線，這是尋找線線垂直的重要依據．垂直問題的證明，其一般規律是“由已知想性質，由求證想判定”，也就是說，根據已知條件去思考有關的性質定理；根據要求證的結論去思考有關的判定定理，往往需要將分析與綜合的思路結合起來．證明線面垂直的方法：證明一個面過另一個面的垂線，將證明面面垂直轉化為證明線面垂直，一般先從現有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中點、高線與添加輔助線解決．求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角．再利用解三角形的辦法求解．對于本題，也可以建立空間坐標系，利用空間向量進行求解和證明．