Question

如圖，A是單位圓與x軸正半軸的交點(diǎn)，B，P為單位圓上不同的點(diǎn)，∠AOB=θ，∠AOP=2θ，0≤θ≤π．
（Ⅰ）當(dāng)θ為何值時，

AB

∥

OP

？
（Ⅱ）若

OQ

=

OA

+

OB

，則當(dāng)θ為何值時，點(diǎn)Q在單位圓上？

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意知，

AB

=（cosθ-1，sinθ），

OP

=（cos2θ，sin2θ），利用共線向量坐標(biāo)間的關(guān)系即可求得θ；
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y），則

OA

+

OB

=（cosθ+1，sinθ），由點(diǎn)Q在單位圓上得（cosθ+1）²+sin²θ=1，結(jié)合0≤θ≤π即可求得θ．

解答：解：（Ⅰ）由題意知，

AB

=(cosθ-1，sinθ)，

OP

=(cos2θ，sin2θ)，
∵

AB

∥

OP

，
∴（cosθ-1）sin2θ=sinθ•cos2θ，
∴sinθ=sin2θ，sinθ≠0，
∴cosθ=

1

2

，又因為0≤θ≤π，所以θ=

π

3

．
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y），則

OQ

=(x，y)，
又∵

OA

+

OB

=（cosθ+1，sinθ），
∴

cosθ+1=x sinθ=y

，
∴（cosθ+1）²+sin²θ=1，
∴cosθ=-

1

2

，又0≤θ≤π，
∴θ=

2π

3

．

點(diǎn)評：本題考查圓的參數(shù)方程，著重考查共線向量坐標(biāo)間的關(guān)系及點(diǎn)在單位圓上，其坐標(biāo)滿足圓的方程的應(yīng)用，屬于中檔題．