Question

已知函數f（x）=

1

2

ax2+2x，g（x）=lnx．
（1）如果函數y=f（x）在[1，+∞）上是單調減函數，求a的取值范圍；
（2）是否存在實數a＞0，使得方程

g(x)

x

=f（x）-（2a+1）在區間（

1

e

，e）內有且只有兩個不相等的實數根？若存在，請求出a的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數y=f（x）在[1，+∞）上是單調減函數，則[1，+∞）為函數f（x）的減區間的子集，分a=0，a＞0，a＜0三種情況討論即可；
（2））把方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）整理為

lnx

x

=ax+2-(2a+1)，即方程ax²+（1-2a）x-lnx=0，設H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（x＞0），則原問題等價于函數H（x）在區間（

1

e

，e）內有且只有兩個零點．利用導數判斷出函數H（x）的單調性、最小值，求出區間端點處的函數值，借助圖象可得不等式組，解出即可；

解答：解：（1）①當a=0時，f（x）=2x在[1，+∞）上是單調增函數，不符合題意；
②當a＞0時，y=f（x）的對稱軸方程為x=-

2

a

，y=f（x）在[1，+∞）上是單調增函數，不符合題意；
③當a＜0時，函數y=f（x）在[1，+∞）上是單調減函數，則-

2

a

≤1，解得a≤-2，
綜上，a的取值范圍是a≤-2；
（2）把方程

g(x)

x

=f′（x）-（2a+1）整理為

lnx

x

=ax+2-(2a+1)，即方程ax²+（1-2a）x-lnx=0，
設H（x）=ax²+（1-2a）x-lnx（x＞0），則原問題等價于函數H（x）在區間（

1

e

，e）內有且只有兩個零點．
H′（x）=2ax+（1-2a）-

1

x

=

2ax2+(1-2a)x-1

x

=

(2ax+1)(x-1)

x

，令H′（x）=0，因為a＞0，解得x=1或x=-

1

2a

（舍），
當x∈（0，1）時，H′（x）＜0，H（x）是減函數；當x∈（1，+∞）時，H′（x）＞0，H（x）是增函數．
H（x）在（

1

e

，e）內有且只有兩個不相等的零點，只需

H( 1 e )＞0 H(x)min＜0 H(e)＞0

，即

a e2 + 1-2a e +1= (1-2a)e+a+e2 e2 ＞0 H(1)=a+(1-2a)=1-a＜0 ae2+(1-2a)e-1=(e2-2e)a+(e-1)＞0

，
所以

a＜ e2+e 2e-1 a＞1 a＞ 1-e e2-2e

，解得1＜a＜

e2+e

2e-1

．
所以a的取值范圍是（1，

e2+e

2e-1

）．

點評：本題考查利用導數研究函數的單調性、方程根的個數問題，考查數形結合思想、分類討論思想、轉化思想，考查學生對問題的分析解決能力，能力要求較高．