Question

（本題滿分15分）
已知點，是拋物線上相異兩點，且滿足．
（Ⅰ）若的中垂線經過點，求直線的方程；
（Ⅱ）若的中垂線交軸于點，求的面積的最大值及此時直線的方程．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ），直線方程為。

解析試題分析：（I）當垂直于軸時，顯然不符合題意，
所以可設直線的方程為，代入方程得：

∴              ………………………………2分
得： 
∴直線的方程為                  
∵中點的橫坐標為1，∴中點的坐標為  …………………………4分       
∴的中垂線方程為 
∵的中垂線經過點，故，得   ………………………6分
∴直線的方程為           ………………………7分
（Ⅱ）由（I）可知的中垂線方程為，∴點的坐標為……8分
因為直線的方程為
∴到直線的距離…………………10分
由 得，，

     …………………………12分
∴,  設,則，
，，由，得 
在上遞增，在上遞減，當時，有最大值
得：時，    
直線方程為                    ……………15分
（本題若運用基本不等式解決，也同樣給分）
法二：
（Ⅰ）當垂直于軸時，顯然不符合題意，
當不垂直于軸時，根據題意設的中點為，
則            &nbs