Question

【題目】已知在四棱錐中，底面是矩形，平面，，分別是，的中點，與平面所成的角的正切值是；

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正切值．

Answer 1

【答案】(1)見證明；(2)

【解析】

（1）取的中點，連接，通過證明四邊形是平行四邊形，證得，從而證得平面.（2）連接，證得為與平面所成角.根據的值求得的長，作出二面角的平面角并證明，解直角三角形求得二面角的正切值．

（1）證明：取的中點，連接.∵是中點

∴

又是的中點,∴

∴，從而四邊形是平行四邊形， 故

又平面，平面，∴

（2）∵平面，∴是在平面內的射影

為與平面所成角，

四邊形為矩形，

∵,∴,

∴

過點作交的延長線于，連接，

∵平面

據三垂線定理知.∴是二面角的平面角

易知道為等腰直角三角形，∴

∴=

∴二面角的正切值為