Question

【題目】已知函數，的最大值為.

（1）求的值；

（2）試推斷方程是否有實數解？若有實數解，請求出它的解集.

Answer 1

【答案】（1）；（2）無實數解

【解析】

（1）由題意，對函數f（x）=-x+lnx求導數，研究出函數在定義域上的單調性，判斷出最大值，即可求出；

（2）由于函數的定義域是正實數集，故方程|2x（x-lnx）|=2lnx+x可變為，再分別研究方程兩邊對應函數的值域，即可作出判斷．

(1)已知函數，則，

可得，

令，x=1，

當0<x<1時,f′(x)>0;當x>1時,f′(x)<0.

∴f(x)在(0,1)上是增函數,在(1,+∞)上是減函數，

∴；

(2)|2x(xlnx)|=2lnx+x可得，

由(1)知f(x)max=f(1)=1，即x+lnx≤1，

∴|xlnx|≥1，

又令,，

令g′(x)>0,得0<x<e;令g′(x)<0，得x>e，

∴g(x)的增區間為(0,e),減區間為(e,+∞)，

∴,∴g(x)<1，

∴|xlnx|>g(x),即恒成立，

∴方程即方程|2x(xlnx)|=2lnx+x沒有實數解.