Question

已知點及圓：.（Ⅰ）若直線過點且與圓心的距離為1，求直線的方程；（Ⅱ）設過點P的直線與圓交于、兩點，當時，求以線段為直徑的圓的方程；（Ⅲ）設直線與圓交于，兩點，是否存在實數，使得過點的直線垂直平分弦？若存在，求出實數的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

(Ⅰ) , (Ⅱ) （Ⅲ）不存在

：（Ⅰ）設直線的斜率為（存在）則方程為.
又圓C的圓心為，半徑，由  ， 解得.
所以直線方程為， 即 .
當的斜率不存在時，的方程為，經驗證也滿足條件
（Ⅱ）由于，而弦心距，
所以.所以為的中點.故以為直徑的圓的方程為 
（Ⅲ）把直線即．代入圓的方程，
消去，整理得．由于直線交圓于兩點，故，即，解得．
則實數的取值范圍是．設符合條件的實數存在，
由于垂直平分弦，故圓心必在上．
所以的斜率，而，所以．由于，
故不存在實數，使得過點的直線垂直平分弦．