Question

【題目】已知點(diǎn)，動點(diǎn)， 分別在軸， 軸上運(yùn)動， ， 為平面上一點(diǎn)， ，過點(diǎn)作平行于軸交的延長線于點(diǎn).

（Ⅰ）求點(diǎn)的軌跡曲線的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)作軸的垂線，平行于軸的兩條直線， 分別交曲線于， 兩點(diǎn)（直線不過），交于， 兩點(diǎn).若線段中點(diǎn)的軌跡方程為，求與的面積之比.

Answer 1

【答案】（1）;（2）2.

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可得為， 的中點(diǎn)，設(shè)，則， 分別為， ,結(jié)合可得點(diǎn)的軌跡方程；（Ⅱ）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)，設(shè)， ， ， 中點(diǎn)為， 當(dāng)當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得，當(dāng)與軸垂直時(shí)也適合方程，由題意得即為的準(zhǔn)線，結(jié)合面積公式即可.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)，由為， 的中點(diǎn)可得為， 的中點(diǎn)，則， 分別為， ,， 可得點(diǎn)的軌跡方程為：

（Ⅱ）設(shè)直線與軸的交點(diǎn)，設(shè)，

設(shè)， 中點(diǎn)為，

當(dāng)與軸不垂直時(shí)，由可得

而，則 即，即

當(dāng)與軸垂直時(shí)， ， 中點(diǎn)與重合，適合方程.

由為， 的中點(diǎn)，可知過點(diǎn)作軸的垂線即為的準(zhǔn)線，

，

與的面積之比為2.