Question

已知函數f(x)=ekx2-kx2e（k＞0）（e為自然對數的底數）
（1）求f（x）的極值
（2）對于數列{a_n}，an=en2-1-n2（n∈N^*）
①證明：a_n＜a_n+12
②考察關于正整數n的方程a_n=n是否有解，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）由f′（x）=0可求得x=0或x=±

1 k

，從而可求得其單調區間，繼而可求得f（x）的極值；
（2）①觀察得知，當k=1時，f（x）=e(ex2-1-x2)，a_n=

f(n)

e

，利用f（x）在（1，+∞）上遞增，即可證得a_n＜a_n+1；
（3）由a_n=n，得en2-1=n²+n，分析等號兩端即可得到答案．

解答：解：（1）由f′（x）=2kx（ekx2-e）=0得，x=0或x=±

1 k

，
∴f（x）在 （-∞，-

1 k

）單調遞減，（-

1 k

，0）單調遞增，（0，

1 k

）單調遞減，（

1 k

，+∞）單調遞增，
∴f（x）_極大=f（0）=1，f（x）_極小值=f(±

1 k

)=0，
（2）①當k=1時，f（x）=ex2-ex2=e(ex2-1-x2)，
由（1）知f（x）在（1，+∞）上遞增，從而a_n＜a_n+1
②由a_n=n，得en2-1=n²+n，
因n∈N₊，得 n²-1是整數，所以en2-1是無理數，
而n²+n為整數，所以en2-1≠n²+n
即方程a_n=n無解

點評：本題考查利用導數研究函數的極值，著重考查利用導數研究函數的單調性，突出分類討論思想與轉化思想的綜合運用，屬于難題．