Question

已知兩定點E（-

2

，0），F（

2

，0），動點P滿足

PE

•

PF

=0，由點P向x軸作垂線PQ，垂足為Q，點M滿足

PQ

=

2

MQ

，點M的軌跡為C．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）若直線l交曲線C于A、B兩點，且坐標原點O到直線l的距離為

2

2

，求|AB|的最大值及對應的直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出P的軌跡4方程，再確定M，P坐標之間的關系，即可求曲線C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設出直線方程，代入橢圓方程，利用韋達定理及弦長公式，結合坐標原點O到直線l的距離為

2

2

，即可求|AB|的最大值及對應的直線l的方程．

解答：解：（Ⅰ）∵動點P滿足

PE

•

PF

=0，∴點P的軌跡方程為x²+y²=2．
設M（x，y），依題意可得P（x，

2

y）
代入P滿足的方程可得x²+（

2

y）²=2，即曲線C：

x2

2

+y²=1．…（4分）
（Ⅱ）①若直線l垂直于x軸，此時|AB|=

3

．   …（5分）
②若直線l不垂直于x軸，設直線l的方程為y=kx+m，
則原點O到直線l的距離為

|m|

1+k2

=

2

2

，整理可得2m²=1+k²．…（6分）
由

y=kx+m x2 2 +y2=1

消去y可得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由題意可得△＞0，
則x₁+x₂=-

4km

1+2k2

，x₁x₂=

2(m2-1)

1+2k2

．
∴|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2

•

(1+k2)(1+2k2-m2)

1+2k2

…（8分）
∵2m²=1+k²，
∴2（1+k²）（1+2k²-m²）=（1+k²）（2+4k²-2m²）=（1+k²）（1+3k²）≤（1+2k²）²，
等號當且僅當1+k²=1+3k²，即k=0時成立．
即2

2

•

(1+k2)(1+2k2-m2)

1+2k2

≤2，
所以k=0時，|AB|取得最大值2．
此時直線l的方程為y=±

2

2

．…（12分）

點評：本題考查軌跡方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查代入法的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．