Question

（文科）已知橢圓的方程為3x²+y²=18．
（1）求橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率；
（2）求以橢圓的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)、頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的雙曲線方程．

Answer 1

分析：（1）首先將橢圓方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程，能夠得出ab，c．然后根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)及離心率公式求出結(jié)果即可．
（2）先求出橢圓的頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到雙曲線的焦點(diǎn)和頂點(diǎn)，進(jìn)而得到雙曲線方程．

解答：解：（1）∵橢圓3x²+y²=18即

x2

6

+

y2

18

=1，
∴a=3

2

，b=

6

由 c²=a²-b²，得c=2

3

，
∴離心率：e=

c

a

=

2 3

3 2

=

6

3

，
焦點(diǎn)坐標(biāo)：F₁（0，-2

3

），F(xiàn)₂（0，2

3

）
（2）橢圓在y軸上的頂點(diǎn)坐標(biāo)：（0，3

2

），（0，-3

2

），
焦點(diǎn)坐標(biāo)：（0，-2

3

），（0，2

3

）
∴雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)是：（0，3

2

），（0，-3

2

），
頂點(diǎn)為（0，-2

3

），（0，2

3

）
雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為：2

3

，半虛軸長(zhǎng)為：

(3 2 )2-(2 3 )2

=

6

．
∴雙曲線方程為

y2

12

-

x2

6

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用橢圓與雙曲線的性質(zhì)求解雙曲線的方程，解題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓與雙曲線的性質(zhì)，正確找出題中的相關(guān)量，求出a、b、c是關(guān)鍵，同時(shí)要牢記橢圓和雙曲線中的有關(guān)公式，屬于基礎(chǔ)題．