Question

=（1，1），=（1，0），滿足=0，且=，＞0
（I）求向量；
（II）若映射
①求映射f下（1，2）原象；
②若將（x、y）作點的坐標，問是否存在直線l使得直線l上任一點在映射f的作用下，仍在直線上，若存在求出l的方程，若不存在說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）設，由已知得到關于x、y的方程組，求出x、y，即求得向量；
（II）根據映射，①求映射f下（1，2）原象，列出方程，解方程即可；②存在性命題的探討，轉化為（1+k）y=（1-k）x-b與y=kx+b表示同一直線，對應系數相等，求得直線方程．
解答：解：（I）設，則
∴
∴=（1，-1）

（II）①x（1，1）+y（1，-1）=（1，2）
∴
∴原象是
②假設l存在，設其方程為y=kx+b（k≠0），
∴=（x+y，x-y）
點（x+y，x-y）在直線上
∴x-y=k（x+y）+b
即（1+k）y=（1-k）x-b與y=kx+b表示同一直線，
必有-b=b，=k，
解可得，
∴直線?存在其方程為．
點評：考查平面向量的坐標運算和數量積，屬基礎題，對映射的定義，增加了試題新穎和綜合，體現了轉化和方程的思想方法，很好．