Question

某批產品成箱包裝，每箱5件．一用戶在購進該批產品前先取出3箱，再從每箱中任意抽取2件產品進行檢驗．設取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品，其余為一等品．用ξ表示抽檢的6件產品中二等品的件數．
（Ⅰ）求在抽檢的6件產品中恰有一件二等品的概率；
（Ⅱ）求ξ的分布列和數學期望值；
（Ⅲ）若抽檢的6件產品中有2件或2件以上二等品，用戶就拒絕購買這批產品，求這批產品被用戶拒絕的概率．

Answer 1

分析：（I）在抽檢的6件產品中恰有一件二等品包含兩種情形：一是從第二箱中取出的二等品，二是從第三箱中取出的二等品，分別求出它們的概率，最后利用互斥事件的加法公式進行相加即可．
（II）由取出的第一、二、三箱中分別有0件、1件、2件二等品可知變量ξ的取值，結合變量對應的事件做出這四個事件發生的概率，寫出分布列和期望．
（III）由上一問做出的分布列可以知道，P（ξ=2），P（ξ=3），這兩個事件是互斥的，根據互斥事件的概率公式得到結果．

解答：解析：（Ⅰ）在抽檢的6件產品中恰有一件二等品的概率為：
P(ξ=1)=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 3

C 2 5

+

C 2 4

C 2 5

•

C 1 3 C 1 2

C 2 5

=

12

25

（3分）
（Ⅱ）ξ可能的取值為0，1，2，3．（4分）
P(ξ=0)=

C 2 4

C 2 5

•

C 2 3

C 2 5

=

18

100

=

9

50

；
P(ξ=1)=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 3

C 2 5

+

C 2 4

C 2 5

•

C 1 3 C 1 2

C 2 5

=

12

25

；
P(ξ=2)=

C 1 4

C 2 5

•

C 1 3 C 1 2

C 2 5

+

C 2 4

C 2 5

•

C 2 2

C 2 5

=

15

50

=

3

10

；
P(ξ=3)=

C 1 4

C 2 5

•

C 2 2

C 2 5

=

1

25

．（7分）
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3
P	9 50	12 25	3 10	1 25

（8分）
E(ξ)=0×

9

50

+1×

12

25

+2×

3

10

+3×

1

25

=

6

5

（9分）
（Ⅲ）所求的概率為P(ξ≥2)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=

15

50

+

1

25

=

17

50

．（12分）

點評：本題主要考查分布列的求法以及利用分布列求期望和概率，求離散型隨機變量的分布列和期望是近年來理科高考必出的一個問題，題目做起來不難，運算量也不大．