Question

設橢圓的左右頂點分別為，離心率．過該橢圓上任一點P作PQ⊥x軸，垂足為Q，點C在QP的延長線上，且．
（1）求橢圓的方程；
（2）求動點C的軌跡E的方程；
（3）設直線AC（C點不同于A，B）與直線交于點R，D為線段RB的中點，試判斷直線CD與曲線E的位置關系，并證明你的結論．

Answer 1

（1）;(2) ;(3) 直線與圓相切,證明見解析.

試題分析：（1）要求橢圓的方程,就要知道a,b,由點A知道a=2,由離心率可求得c,由a²=b²+c²進而求出b=1;(2)求動點的軌跡方程,首先設，，利用用C點表示P點坐標,,代入橢圓方程,從而得到動點C的軌跡;(3)直線與圓的位置關系有三種,相交,相切,相離,判斷的方法是圓心到直線的距離與半徑的關系,如果⊙O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：直線l與⊙O相交d<r；直線l與⊙O相切d=r；直線l與⊙O相離d>r；求出圓心到直線的距離后和半徑進行比較,可得直線與圓的位置關系.
試題解析：（1）由題意可得，，
∴，
∴，
∴橢圓的方程為．
（2）設，，由題意得，即，
又，代入得，即．
即動點的軌跡的方程為．
（3）設，點的坐標為，
∵三點共線，
∴，
而，，
則，
∴，
∴點的坐標為，點的坐標為，
∴直線的斜率為，
而，
∴，
∴，
∴直線的方程為，
化簡得，
∴圓心到直線的距離，
∴直線與圓相切．