Question

如圖是某直三棱柱(側棱與底面垂直)被削去上底后的直觀圖與三視圖中的側(左)視圖、俯視圖，在直觀圖中，是的中點，側(左)視圖是直角梯形，俯視圖是等腰直角三角形，有關數據如圖所示．

(1)求出該幾何體的體積；
(2)若是的中點，求證：∥平面；
(3)求證：平面⊥平面.

Answer 1

(1)4 (2)主要證明∥ (3)主要證明平面

試題分析：解:(1)由題意可知，四棱錐中，
平面平面，，
所以，平面，
又，，
則四棱錐的體積為
.
(2)連接，則∥，∥，
又，所以四邊形為平行四邊形，∴∥，
∵平面，平面，
所以，∥平面.
(3)∵，是的中點，∴⊥，
又在直三棱柱中可知，平面平面，
∴平面，
由(2)知，∥，∴平面，
又平面，所以，平面平面.
點評：本題考查的知識點是直線與平面平行的判定，棱錐的體積，平面與平面垂直的判定，其中（1）的關鍵是由面面垂直的性質定理可得AB⊥平面ACDE，（2）的關鍵是分析出四邊形ANME為平行四邊形，即AN∥EM，（3）的關鍵是熟練掌握空間線線垂直，線面垂直與面面垂直之間的相互轉化．