Question

【題目】已知函數，其中為常數.

（1）求函數的單調區間；

（2）若是的一條切線，求的值；

（3）已知，為整數，若對任意，都有恒成立，求的最大值.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)0；(3)2.

【解析】分析：（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）設切點為則：，從而可得結果；（3）恒成立等價于對恒成立，構造函數，通過導函數的符號判斷函數的單調性求解函數的最值，然后可得結果.

詳解：（1）函數的定義域為．

若時，則，所以在上單調遞增；

若時，則當時，，當時，，

所以在上遞減，在上遞增．

（2）設切點為則：，解得．

（3）當時，對任意，都有恒成立等價于對恒成立．

令，則，

由（1）知，當時，在上遞增．

因為，所以在上存在唯一零點，

所以在上也存在唯一零點，設此零點為，則．

因為當時，，當時，，

所以在上的最小值為，所以，

又因為，所以，所以．

又因為為整數且，所以的最大值是．