Question

（本小題滿分12分） 已知函數，

（1）設函數，求函數的單調區間；

（2）若在區間（）上存在一點，使得成立，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）或.    

【解析】

試題分析：（1）先求出函數h（x）的導函數，分情況討論讓其大于0求出增區間，小于0求出減區間即可得到函數的單調區間；

（2）先把f（x₀）＜g（x₀）成立轉化為h（x₀）＜0，即函數h(x)=x+-alnx在[1，e]上的最小值小于零；再結合（Ⅱ）的結論分情況討論求出其最小值即可求出a的取值范圍

在上存在一點，使得，即

函數在上的最小值小于零.        …由（Ⅱ）可知

①即，即時， 在上單調遞減，

所以的最小值為，由可得，

因為，所以；                  

②當，即時， 在上單調遞增，

所以最小值為，由可得；③當，即時， 可得最小值為，

因為，所以， 

故   

此時，不成立.         

綜上討論可得所求的范圍是：或.     

考點：本試題主要考查了利用導函數來研究函數的極值．

點評：解決該試題的關鍵是利用導函數來研究函數的極值時，分三步①求導函數，②求導函數為0的根，③判斷根左右兩側的符號，若左正右負，原函數取極大值；若左負右正，原函數取極小值。