Question

過點M（4，2）作x軸的平行線被曲線C：x²=2py（p＞0）截得的弦長為4

2

．
（I）求p的值；
（II）過點M作直線交拋物線C于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線l₁，l₂，記l₁，l₂的交點為N，當S△ABN=28

7

時，求點N的坐標．

Answer 1

分析：（I）由題意可得，點(2

2

，2)在拋物線x²=2py上，代入可求p，
（II）由題意可設直線AB：y-2=k（x-4），聯立拋物線x²=4y，設A（x1，

x12

4

），B（x2，

x22

4

）根據方程的根與系數關系可求x₁+x₂，x₁x₂，結合弦長公式|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

，利用導數的幾何意義可求A，B點處的切線，交點坐標N，由點N到直線AB的距離d=

2|k2-4k+2|

1+k2

，代入面積公式可求S△NAB=

1

2

|AB|•d=4(

k2-4k+2

)3，結合已知即可求k

解答：解：（I）由題意可得，過M（4，2）所作的直線為y=2截拋物線 弦長為4

2

∴點(2

2

，2)在拋物線x²=2py上，…（2分）
代入得8=4p，故p=2．…（5分）
（II）易知直線AB的斜率一定存在，設為k，則AB：y-2=k（x-4）
聯立拋物線x²=4y，消元，整理得：x²-4kx+16k-8=0    …（7分）
設A（x1，

x12

4

），B（x2，

x22

4

）則x₁+x₂=4k，x₁x₂=16k-8
|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=4

1+k2

k2-4k+2

…（9分）
∵y′=

x

2

故拋物線在A，B兩點處的切線斜率分別為

x1

2

，

x2

2

故在A，B點處的切線方程分別為L₁y=

x1

2

x-

x12

4

，l2：y=

x2

2

x-

x22

4

   …（11分）
于是，l₁與l₂的交點坐標為(

x1+x2

2

，

x1x2

4

)，即N（2k，4k-2）
點N到直線AB的距離d=

2|k2-4k+2|

1+k2

                 …（12分）
∴S△NAB=

1

2

|AB|•d=4(

k2-4k+2

)3…（13分）
故4(

k2-4k+2

)3=28

7

即

k2-4k+2

=

7

∴k=-1或k=5，…（14分）
故點N的坐標為（-2，-6）或（10，18）．…（15分）

點評：本題主要考查了利用拋物線的性質求解拋物線的方程，直線與拋物線相交關系的應用，一般思路是聯立方程結合方程的根與系數關系進行處理