Question

【題目】在平面直角坐標系中，，為，軸上兩個動點，點在直線上，且滿足，.

（1）求點的軌跡方程；

（2）記點的軌跡為曲線，為曲線與正半軸的交點，、為曲線上與不重合的兩點，且直線與直線的斜率之積為，求證直線經過一個定點，并求出該定點坐標。

Answer 1

【答案】（1）；（2）直線過定點

【解析】

（1）設出點P的坐標，分點P在線段上和線段的延長線上兩種情況討論，根據題意得到線段AB的長，列式化簡求得點P的軌跡方程；

（2）先明確直線MN的斜率不存在時對應的情況，再求其斜率存在的時候，設出直線的方程，與橢圓方程聯立，利用題中的條件，建立等量關系式，求得其過的定點.

（1）設點，當點P在線段AB上時，

根據，，有，此時，

所以有，即；

當點P在線段外時，根據，，

只能點P在線段BA是延長線上，并且點A是線段BP的中點，

設，則有，且有，

所以有；

所以點P的軌跡方程為；

（2）當直線的斜率不存在時，設：

則，

∴,不合題意.

②當直線的斜率存在時，設：，，

聯立方程得

則

，

又

即

將，代入上式得

∴直線過定點.