Question

求下列函數的單調區間，并指出其增減性．
（1）y=a1-x2（a＞0且a≠1）；
（2）y=log

1

2

（4x-x³）．

Answer 1

分析：（1）對底數a分0＜a＜1和a＞1兩種情況討論，根據y=a^x和y=1-x²兩個函數的單調性，即可求出復合函數y=a1-x2（a＞0且a≠1）的單調區間及單調性；
（2）先求出函數的定義域，根據對數函數的底數為

1

2

，確定外函數為單調減函數，內函數為y=4x-x³，利用導數大于0和導數小于0，分別確定出內函數的單調性，最后即可求出復合函數y=log

1

2

（4x-x³）的單調區間及單調性．

解答：解：（1）令t=1-x²，則y=a^t，
①當a＞1時，y=a^t在R上為單調遞增函數，而t=1-x²在（-∞，0]上單調遞增，在[0，+∞）上單調遞減，
∴y=a1-x2在（-∞，0]上單調遞增，在[0，+∞）上單調遞減；
②當0＜a＜1時，y=a^t在R上為單調遞減函數，而t=1-x²在（-∞，0]上單調遞增，在[0，+∞）上單調遞減，
∴y=a1-x2在（-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增．
綜合①②，當a＞1時，y=a1-x2在（-∞，0]上單調遞增，在[0，+∞）上單調遞減；
當0＜a＜1時，y=a1-x2在（-∞，0]上單調遞減，在[0，+∞）上單調遞增．
（2）∵y=log

1

2

（4x-x³），要使函數有意義，則4x-x³＞0，解得，x＜-2或0＜x＜2，
∴y=log

1

2

（4x-x³）的定義域為（-∞，-2）∪（0，2）．
令g（x）=4x-x³，g′（x）=-3x²+4，
令g′（x）=-3x²+4＞0，解得，-

2 3

3

＜x＜

2 3

3

，
令g′（x）=-3x²+4＜0，解得，x＜-

2 3

3

或x＞

2 3

3

，
∴g（x）=4x-x³在(-

2 3

3

，

2 3

3

)上單調遞增，在(-∞，-

2 3

3

)∪(

2 3

3

，+∞)上單調遞減，
y=log

1

2

x在（0，+∞）上單調遞減，結合函數y=log

1

2

（4x-x³）的定義域為（-∞，-2）∪（0，2），
∴函數y=log

1

2

（4x-x³）在(0，

2 3

3

)上單調遞減，在（-∞，-2）和(

2 3

3

，2)上單調遞增．

點評：本題考查了復合函數的單調性，復合函數分別以指數函數和對數函數為背景．對于指數函數和對數函數的單調性與底數的值有關，若底數是參數的話，要注意對參數的分類討論．另外對于復合函數的單調性要注意把握“同增異減”來判斷，求單調區間時要考慮函數的定義域，單調區間是定義域的子集．屬于中檔題．