Question

【題目】設函數f（x）=x（lnx﹣ax）（a∈R）在區間（0，2）上有兩個極值點，則a的取值范圍是（ ）
A.
B.
C.
D.

Answer 1

【答案】D
【解析】解：方法一：f（x）=x（lnx﹣ax），求導f′（x）=lnx﹣2ax+1，

由題意，關于x的方程a= 在區間（0，+∞）由兩個不相等的實根，

令h（x）= ，h′（x）=﹣ ，

當x∈（0，1）時，h（x）單調遞增，當x∈（1，+∞）單調遞減，

當x→+∞時，h（x）→0，

由圖象可知：函數f（x）=x（lnx﹣ax），在（0，2）上由兩個極值，

只需 ＜a＜ ，

故D．

方法二：f（x）=x（lnx﹣ax），求導f′（x）=lnx﹣2ax+1，

由題意，關于x的方程2ax=lnx+1在區間（0，2）由兩個不相等的實根，

則y=2ax與y=lnx+1有兩個交點，

由直線y=lnx+1，求導y′= ，

設切點（x0，y0）， = ，解得：x0=1，

∴切線的斜率k=1，

則2a=1，a= ，

則當x=2，則直線斜率k= ，

則a= ，

∴a的取值范圍（ ， ），

故選D．

方法一：求導f′（x）=lnx﹣2ax+1，由關于x的方程a= 在區間（0，+∞）由兩個不相等的實根，構造輔助函數，根據函數單調性即可求得a取值范圍；

方法二：由題意，關于x的方程2ax=lnx+1在區間（0，2）由兩個不相等的實根，則y=2ax與y=lnx+1有兩個交點，根據導數的幾何意義，即可求得a的取值范圍．