Question

如圖,在平行六面體ABCD—A₁B₁C₁D₁中,以頂點A為端點的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60°.

(1)求AC₁的長;

(2)求AC₁與面ABCD所成的角.

Answer 1

解:(向量法)記a=,b=,c=,

于是|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°.

(1)

∴==a²+b²+c²+2a·c+2a·b+2b·c

=1+1+1+2cos60°+2cos60°+2cos60°=6,

∴.

(2)連結AC、BD,由四邊形ABCD是菱形,知BD⊥AC.

又=b-a,=(b-a)·c=b·c-a·c=0,

∴BD⊥CC₁.∴BD⊥平面ACC₁.

∴平面ABCD⊥平面ACC₁.

故AC是AC₁在平面ABCD內的射影,

∠C₁AC即為AC₁與平面ABCD所成的角.

∵=a+b+c,=a+b,

∴cos∠C₁AC=cos〈,〉==

故AC₁與平面ABCD所成的角為arccos.