Question

（本小題滿分12分）求證：3²ⁿ⁺²-8n–9（n∈N*）能被64整除．

Answer 1

方法1：二項式定理
證明：3²ⁿ⁺²-8n–9=9ⁿ⁺¹-8n–9=（8+1）ⁿ⁺¹-8n–9                    ………………………………4分
=8ⁿ⁺¹＋·8ⁿ＋…＋·8²＋·8＋-8n-9
=8²（8^n-1+8^n-2+…+）+8（n+1）+1-8n-9…………………8分
=64（8^n-1+8^n-2+…+）            …………………………………10分
∵8^n-1+8^n-2+…+∈Z，
∴3²ⁿ⁺²-8ⁿ–9能被64整除．                                         …………………………………12分
方法2：數學歸納法
（1）當n=1時，式子3²ⁿ⁺²-8n–9=3⁴-8-9=64能被64整除，命題成立．………………2分
（2）假設當n=k時，3^2k+2-8k-9能夠被64整除．      ………………………………4分
當n=k+1時，
3^2k+4-8（k＋1）-9
=9[3^2k+2-8k-9]＋64k＋64
＝9[3^2k+2-8k-9]＋64（k＋1）                                     …………………………………8分
因為3^2k+2-8k-9能夠被64整除，
∴9[3^2k+2-8k-9]＋64（k＋1）能夠被64整除．                    …………………………………10分
即當n=k+1時，命題也成立．
由（1）（2）可知，3²ⁿ⁺²-8n–9（n∈N*）能被64整除．……………………………12分

解析