Question

如圖，在長方體ABCD－A₁B₁C₁D₁中，已知AB＝AA₁＝a，BC＝a，M是AD的中點。
(Ⅰ)求證：AD∥平面A₁BC；
(Ⅱ)求證：平面A₁MC⊥平面A₁BD₁；
(Ⅲ)求點A到平面A₁MC的距離。

Answer 1

(Ⅰ)證明略 (Ⅱ)證明略 (Ⅲ)A點到平面A₁MC的距離為

以D點為原點,分別以DA,DC,DD₁為x軸,y軸,z軸,建立空間直角坐標系D-xyz如圖所示.
,,設平面A₁BC的法向量為
又,,,即AD//平面A₁BC.
,,設平面A₁MC的法向量為:,
又,,設平面A₁BD₁的法向量為:,
,,即平面A₁MC平面A₁BD₁.
設點A到平面A₁MC的距離為d,
是平面A₁MC的法向量,
又,A點到平面A₁MC的距離為:.