Question

在△ABC中，已知．
（1）求證：tanB=3tanA；
（2）若tanC=2，求A的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意可得AB•AC•cosA=3BA•BC•cosB，即AC•cosA=3BC•cosB，結(jié)合正弦定理可得sinBcosA=3cosBsinA，同除以cosAcosB可得答案；（2）由已知可得，代入（1）得，解得tanA=1或，結(jié)合cosA＞0，可得答案．
解答：解：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/20131202112616133869316/SYS201312021126161338693016_DA/3.png">，所以AB•AC•cosA=3BA•BC•cosB，…（2分）
即AC•cosA=3BC•cosB，由正弦定理知
從而sinBcosA=3cosBsinA…（4分）
因?yàn)锳、B∈（0，π），結(jié)合上式可得cosA，cosB同號(hào)，只能為正，
同除以cosAcosB可得tanB=3tanA…（6分）
（2）因?yàn)閠anC=2，所以tan[π-（A+B）]=2即tan（A+B）=-2…（8分）
即，由（1）得
解得tanA=1或…（12分）
因?yàn)閏osA＞0，故tanA=1，所以…（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角函數(shù)的運(yùn)算，涉及向量的數(shù)量積，屬中檔題．