Question

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點分別為， ，點在橢圓上．

（Ⅰ）求橢圓的標準方程；

（Ⅱ）是否存在斜率為2的直線，使得當直線與橢圓有兩個不同交點、時，能在直線上找到一點，在橢圓上找到一點，滿足？若存在，求出直線的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）不存在這樣的點，理由見解析.

【解析】試題分析：（1）借助題設條件運用橢圓定義建立方程求解；（2）借助題設運用直線與橢圓的位置關系探求.

試題解析：

（1）設橢圓的焦距為，則，

因為在橢圓上，所以，

因此， ，故橢圓的方程為．

（2）橢圓上不存在這樣的點．證明如下：

設直線的方程為，

設， ， ， ， 的中點為，

由得，

所以，且，故，且，

由知四邊形為平行四邊形，

而為線段的中點，因此， 也是線段的中點，

所以，可得，

又，所以，

因此點不在橢圓上．