Question

【題目】已知集合M是滿足下列性質的函數的全體：在定義域內存在使得成立。

（1）函數是否屬于集合M？請說明理由；

（2）函數M，求a的取值范圍；

（3）設函數，證明：函數M。

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）直接進行驗證或用反證法求解；（2）由M得到方程在定義域內有解，然后轉化成二次方程的問題求解；（3）驗證函數滿足即可得到結論成立．

（1）．理由如下：

假設，

則在定義域內存在，使得成立，

即，

整理得，

∵方程無實數解，

∴假設不成立，

∴．

（2）由題意得，

在定義域內有解，

即在實數集R內有解，

當時，，滿足題意；

當時，由，得，

解得且，

綜上，

∴實數a的取值范圍為．

（3）證明：∵，

∴，

又函數的圖象與函數的圖象有交點，

設交點的橫坐標為a，則，

∴，其中，

∴ 存在使得成立，

∴．