Question

【題目】在△ABC 中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且asin Acos C+csin AcosA= c
（1）若c=1，sin C= ，求△ABC的面積S
（2）若D 是AC的中點且cosB= ，BD= ，求△ABC的最短邊的邊長．

Answer 1

【答案】
（1）解：由正弦定理可知： = = =2R，

則a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，

∴sinAsinAcosC+sinCsinAcosA= sinC，

則sinAsin（A+C）= sinC，

∴sinAsinB= sinC，則sinA× = × ，

∴bsinA= ，

△ABC的面積S，S= ×bcsinA= ×1× = ，

△ABC的面積S= ；

（2）解：由cosB= ，可得sinB= ，

∵C=π﹣（A+B），

∴3sinA= sin（A+B），則sinA=cosA，得tanA=1，

∴A= ，則c2+ b2﹣ bc=26，

∵sinA× = sinC，且sinB× = sinC，

∴c= a，b= c= a，

∴ a2+ a2﹣ a2=26，

∴解得：a=2 ，

∴b=2 ，c=6，

∴△ABC的最短邊的邊長為2 ．

【解析】（1）利用正弦定理求得sinAsinB= sinC，即bsinA= ，根據三角形的面積公式，即可求得△ABC的面積S；（2）由同角三角函數基本關系式可求sinB，結合已知可求A，利用正弦定理，余弦定理可求三邊長，即可得解．