Question

已知a＞0，b＞0，且a+b=1，則

a+ 1 2

+

b+ 1 2

的最大值是

2

．

Answer 1

分析：將問題轉化為求（

a+ 1 2

+

b+ 1 2

）²=2+2

ab+ 3 4

的最大值

解答：解：∵a，b∈R⁺，且a+b=1，
∴a+b=1≥2

ab

，
∴ab≤

1

4

∴（

a+ 1 2

+

b+ 1 2

）²=a+

1

2

+b+

1

2

+2

a+ 1 2

•

b+ 1 2

=2+2

ab+ 1 2 (a+b)+ 1 4

=2+2

ab+ 3 4

≤2+2

1 4 + 3 4

=4
∴（

a+ 1 2

+

b+ 1 2

）²≤4
∴

a+ 1 2

+

b+ 1 2

的最大值是2（當且僅當a=b時，等號成立）

點評：體現(xiàn)了基本不等式的應用和轉化的數(shù)學思想．