Question

（2013•閘北區一模）若數列{b_n}滿足：對于n∈N^*，都有b_n+2-b_n=d（常數），則稱數列{b_n}是公差為d的準等差數列．如：若cn=

4n-1，當n為奇數時 4n+9，當n為偶數時.

則{c_n}是公差為8的準等差數列．
（1）求上述準等差數列{c_n}的第8項c₈、第9項c₉以及前9項的和T₉；
（2）設數列{a_n}滿足：a₁=a，對于n∈N^*，都有a_n+a_n+1=2n．求證：{a_n}為準等差數列，并求其通項公式；
（3）設（2）中的數列{a_n}的前n項和為S_n，若S₆₃＞2012，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由已知把n=8，n=9分別代入數列的通項可求c₈，c₉，然后結合等差數列的求和公式可求T₉
（2）由a_n+a_n+1=2n可得a_n+1+a_n+2=2（n+1），兩式相減可知a_n+2-a_n=2，結合n的奇偶及等差數列的通項公式可求
（3）法一：在S₆₃=a₁+a₂+…+a₆₃中，有32各奇數項，31各偶數項，分組結合等差數列的求和公式可求S₆₃，然后結合已知不等式可求a的范圍
法二：當n為偶數時，a₁+a₂=2×1，a₃+a₄=2×3，…a_n-1+a_n=2×（n-1），然后各式相加可求S_n，而S₆₃=S₆₂+a₆₃
代入可求S₆₃，然后結合已知不等式可求a的范圍

解答：解：（1）c₈=41，c₉=35（2分）
T9=

(3+35)×5

2

+

(17+41)×4

2

=216．（4分）
（2）∵a_n+a_n+1=2n①a_n+1+a_n+2=2（n+1）②
②-①得a_n+2-a_n=2．
所以，{a_n}為公差為2的準等差數列．                                （2分）
當n為奇數時，an=a+(

n+1

2

-1)×2=n+a-1；                        （2分）
當n為偶數時，an=2-a+(

n

2

-1)×2=n-a，（2分）
∴an=

n+a-1，(n為奇數) n-a，(n為偶數)

（3）解一：在S₆₃=a₁+a₂+…+a₆₃中，有32各奇數項，31各偶數項，
所以，S63=32a+

32×31

2

×2+31(2-a)+

31×30

2

×2=a+1984．（4分）
∵S₆₃＞2012，
∴a+1984＞2012．
∴a＞28．                         （2分）
解二：當n為偶數時，a₁+a₂=2×1，a₃+a₄=2×3，…a_n-1+a_n=2×（n-1）
將上面各式相加，得Sn=

1

2

n2．
∵S63=S62+a63=

1

2

×622+63+a-1=a+1984（4分）
∵S₆₃＞2012，
∴a+1984＞2012．
∴a＞28．                         （2分）

點評：本題主要考查了等差 數列的通項公式的應用，以新定義為載體考查了數列的遞推公式的應用，及等差數列的求和公式的綜合應用．