Question

過直線l：y=x+9上的一點P作一個長軸最短的橢圓，使其焦點為F₁（-3，0），F₂（3，0），則橢圓的方程為（　　）

A． x2 12 + y2 3 =1	B． x2 25 + y2 16 =1
C． x2 45 + y2 36 =1	D． x2 81 + y2 72 =1

Answer 1

設直線l上的占P（t，t+9），
取F₁（-3，0）關于l的對稱點Q（-9，6），
根據橢圓定義，2a=|PF₁|+|PF₂|=|PQ|+|PF₂|≥|QF₂|=6

5

當且僅當Q，P，F₂共線，即kPF2=kQF2，
即

t+9

t-3

=

6

-12

，
上述不等式取等號，∴t=-5．
∴P（-5，4），
據c=3，a=3

5

，知a²=45，b²=36，
∴橢圓的方程為

x2

45

+

y2

36

=1．
故選C．