Question

（本小題滿分14分）
已知函數，，函數的圖象在點處的切線平行于軸．
（1）確定與的關系；
（2）試討論函數的單調性；
（3）證明：對任意，都有成立．

Answer 1

（1）
（2）當時，函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；
當時，函數在單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增；
當時，函數在上單調遞增，
當時，函數在上單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增．
（3）可以利用放縮不等式證明也可以構造新數列利用數列的性質證明還可以構造函數利用導數證明

解析試題分析：（1）依題意得，則
由函數的圖象在點處的切線平行于軸得：
∴                                                        ……3分
（2）由（1）得               ……4分
∵函數的定義域為
∴當時，在上恒成立，
由得，由得，
即函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；                      ……5分
當時，令得或，
若，即時，
由得或，由得，
即函數在，上單調遞增，在單調遞減；          ……6分
若，即時，
由得或，由得，
即函數在，上單調遞增，在單調遞減；          ……7分
若，即時，在上恒有，
即函數在上單調遞增，                                     ……8分
綜上得：當時，函數在(0,1)上單調遞增，在單調遞減；
當時，函數在單調遞增，在單調遞減；在上單調遞增；
當時，函數在