Question

【題目】在平面直角坐標系中，直線l的參數方程為（其中t為參數），現以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線C的極坐標方程為ρ=4sinθ．

（Ⅰ）寫出直線l和曲線C的普通方程；

（Ⅱ）已知點P為曲線C上的動點，求P到直線l的距離的最小值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)，.(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ)消去參數可得直線的普通方程y=x-4．極坐標方程化為直角坐標方程可得曲線C的直角坐標方程為x2+（y-2）2=4；

(Ⅱ)由題意利用幾何法確定P到直線l的距離的最小值即可.

（Ⅰ）直線l：（其中t為參數），消去參數t得普通方程y=x-4．

由ρ=4sinθ得ρ2=4ρsinθ．

由x=ρcosθ，y=ρsinθ以及x2+y2=ρ2，得

x2+（y-2）2=4；

（Ⅱ）由x2+（y-2）2=4得圓心坐標為（0，2），半徑R=2，

則圓心到直線的距離為：d==3，

而點P在圓上，即O′P+PQ=d（Q為圓心到直線l的垂足），

所以點P到直線l的距離最小值為3-2．