Question

已知圓過點，，并且直線平分圓的面積．
（1）求圓的方程；
（2）若過點，且斜率為的直線與圓有兩個不同的公共點．
①求實數的取值范圍；  ②若，求的值．

Answer 1

（1）；（2）①：實數的取值范圍是，②：.

解析試題分析：（1）由題意直線平分圓的面積可知圓心在直線上，因此可將的坐標設為，再由圓過點，可知，即可得到關于的方程：
，解得，即有圓心坐標，半徑，從而可知圓的方程為；（2）①：根據題意可設直線的方程為，代入圓方程并化簡可得，從而直線與圓有兩個不同的交點，等價于方程有兩個不想等的實數根，從而，②：由題意可知若設設，，則，為方程的兩根，從而，，，因此可以由得到關于的方程：，即.
試題解析：（1）∵平分圓的面積，∴圓心在直線上，∴設，又∵圓過點，，
∴，即，∴，半徑，
∴圓的方程為；         4分；
①：設直線的方程為，代入并化簡可得：，
∵直線與圓有兩個不同的公共點，∴，
即實數的取值范圍是，        4分
②：設，，由①可知，，
∴，
∴，
∴.         4分
考點：1.圓的標準方程；2.直線與圓的位置關系；3.平面向量數量積的坐標表示.